MAKALAH MATEMATIKA Persamaan Linear Tiga Variabel

MAKALAH

                                        MATEMATIKA    

Persamaan Linear Tiga Variabel

Disusun Oleh:

Surahman

Sanuri

Rosih

Cahyati

Pitri

Dinda

Kelas : X IPS 4

SMAN 1 BATUJAYA

KARAWANG

2016 / 2017

KATA PENGANTAR

ِبِسْمِ اللَّهِ الرَّ حْمنِ الرّْ حِيْمِ

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata’ala,  karena berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel”. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata Pelajaran Matematika.

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb

        Karawang,  Oktober 2016

                                                                                                    Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR....................................................................................................... i

DAFTAR ISI..................................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................................. 1

A.    Latar Belakang....................................................................................................... 1

B.     Tujuan..................................................................................................................... 1

C.     Metode penulisan................................................................................................... 1

BAB II PEMBAHASAN.................................................................................................. 2

A.    Sistem Persamaan Linear Dan Tiga Variabel.......................................................... 2

B.     Penyelesaian Sistem Persamaan Linear.................................................................. 3

C.     Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ................................................................ 4

BAB III PENUTUP........................................................................................................... 7

A.     Kesimpulan............................................................................................................ 7

B.     Saran....................................................................................................................... 7

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

B.     TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer, yang diberikan oleh dosen kami Ibu Musriana, S. Pd. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

C.    METODE PENULISAN

Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan.

Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka.

Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel. Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam teknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh.

 Pengertian Sistem Persamaan Linear

Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + a 2x 2 + … + a n x n = b, dengan a 1, a 2, …, a n dan b adalah konstanta real

Contoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear :

a. x + 3y = 7

b. y = 5x + 3z + 1

Persamaan berikut bukan persamaan linear :

c. x2 + 3y = 5

d. y – sin x = 0

Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm,

dengan aij dan bi (1 § i § m, 1 § j § n) adalah konstanta-konstanta real.

Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1, x2, …, xn  dengan Am x n = (aij ), Xn x 1 = ( ) x j , dan Bm x 1 = ( ) bi . Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen.

 Contoh :

a. SPL non homogen berikut

x1 – x2 + x3 = 2

2x1 – x2 – x3 = 4

b. SPL homogen berikut

x1 + x2 = 0

x1 – x2 = 0

B.     Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sebuah penyelesaian persamaan linear a1x1 + a2 x2 + … + anxn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL.

Contoh :

Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem

          x1 + 2x 2 = 5

2x1 + 3x 2 = 8

karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.

Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) ≠ 8.

Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL

x1 – x2 + x3 = 2

2x1 – x2 – x3 = 4

karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2

2(2) + 1(0) – 1(0) = 4

Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), …. juga merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika α adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2, α,α) adalah penyelesaian SPL tersebut. Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat ditunjukkan pada sistem

x1 + x2 = 2

x1 – x2 = 1

x1 = 4

Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan pertama

dan kedua, maka x2 harus memenuhi :

4 + x2 = 2

4 – x2 = 1

Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian. Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten (consistent).

Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu :

1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)

2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)

3. SPL tidak mempunyai penyelesaian

SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X = 0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain, (yang tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.

Contoh :

2x1 + x 2 – 3 x 3 = 0

x 1 + 2 x 2 = 0

x 2 + x 3 = 0

SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :

x 1 = 2 x 3

x 2 = – x 3

Jika x3=t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = –t sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t.

C.    Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel. Assalamualaikum sobat bangkusekolah.com. Masih belum pada bosan kan belajar matematika? Sekarang pada kesempatakan kali ini kita akan membahas Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel tersebut yang mana udah kita bahas di perjumpaan kemarin. Sebelumnya kita sudah belajar bersama mengenai Sistem persamaan linear dua variabel.

Namanya saja Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Pasti variabelnya ada tiga biasanya yang sering digunakan x, y, z, dalam penyelesaiannya kita bisa menggunakan tiga metode, yakni metode substitusi, metode gabungan dan metode determinan. Sekarang kita masuk pada bahasan kita hari ini yaitu menentukan persamaan linear tiga variabel, Mari belajar bersama dari ulasan berikut ini.

Persamaan linear dengan tiga variabel mempunyai tiga bentuk umum: ax + by + cz = d, dengan a, b, c, dan d adalah bilangan real dan a 0 ; b 0 ; c 0

Pada persamaan linear dengan dua variabel seperti kita diketahui grafiknya berupa garis lurus pada bidang XY. Namun pada Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, bentuk grafiknya adalah berupa garis lurus pada bidang datar pada ruang berdimensi tiga, yaitu ruang XYZ. Dari sini terlihat jelas perbedaan antara persamaan linear dua variabel dengan persamaan linear tiga variabel.

Penyelesaian dari persamaan ax + by + cz = d diperoleh dengan cara memberi nilai sembarang terhadap dua variabelnya. Dari situlah baru kemudian kita bisa menentukan nilai variabel ketiga.

Nah dibawah ini adalah bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

ax + by + cz = d

dx + ey + fz = p

gx + hy + iz = q

a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r Î r

a, d, g = koefisien dari x

b, e, h = koefisien dari y

c, f, i = koefisien dari z

d, p,q = konstanta

x, y, z = variabel

Nah, bagaimana? Apa sobat sudah paham? Untuk memperdalam lagi pemahaman sobat mengenai Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, berikut ini telah kami siapkan contoh soal. Selamat menyimak!

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari persamaan:

x + y + z = 6

jawaban:

persamaan dengan tiga variabel: x + y + z = 6

untuk x = 0, dan y = 0, diperoleh z = 6

untuk x = 0, dan z = 0, diperoleh y = 6

untuk y = 0, dan z = 0, diperoleh x = 6

jadi, (0, 0, 6), (0, 6, 0), dan (6, 0, 0) merupakan penyelesaian dari persamaan x + y + z = 6, grafiknya ditunjukkan gambar dibawah ini

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan:

x + y + z = 9

jawaban:

persamaan dengan tiga variabel: x + y + z = 9

untuk x = 0, dan y = 0, diperoleh z = 9

untuk x = 0, dan z = 0, diperoleh y = 9

untuk y = 0, dan z = 0, diperoleh x = 9

jadi, (0, 0, 9), (0, 9, 0), dan (9, 0, 0) merupakan penyelesaian dari persamaan x + y + z = 9

latihan!

1. x + y + z = 9
2. x + y + z = 10
3. x + y + z = 5
4. x + y + z = 3
5. x + y + z = 7

)

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus D=b2−4ac

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan persamaan linear yang mempunyai solusi (atau tidak mempunyai solusi) yang sama untuk semua persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini, ada beberapa cara yaitu metode eliminasi, metode substitusi, dan metode gabungan (eliminasi dan substitusi). Namun kali ini kita hanya membahas metode gabungan saja, karena akan lebih efektif dalam penyelesaiannya. Sebelumnya juga telah kita bahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, silahkan baca artikelnya

B. SARAN

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.